2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제8회 문제집 (상 (고난도 변별))

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 실수 $n - 5$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{9} f(n)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 8 \cdot 2^x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값과 그때 부등식의 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x = 0$의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

세 변의 길이가 $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 13$, $\overline{AB} = 7$인 삼각형 $ABC$에 대하여 $\cos B$의 값과 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} - a_n = 2n + 3$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 2\text{ 또는 }x > 4) \\ -x + 1 & (2 \le x \le 4) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

두 곡선 $y = x^3 + 3x$와 $y = bx^2 + c$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 상수 $b, c$의 값과 이 점에서의 공통접선의 방정식을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = x^3 - 12x + 8$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t$이다. 출발 후 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 6$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $s$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 2$ 위의 점 $(0, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 2$과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.